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CINEMÁTICA RELATIVISTA 653
XXVII 5. Las ecuaciones de transformación de Lorentz
Si la transformación de Galileo: x = x¢+Vt
y = y¢
z = z¢
t = t¢
no es la correcta ¿cómo tiene que ser la transformación? Estudiemos la solución matemática al
problema sometiéndole a las condiciones físicas relativistas.
1.º Supongamos que en dos sistemas inerciales S (O X Y Z) y S¢(O¢X¢Y¢Z¢), en los que t y t¢
son los tiempos correspondientes, en el instante inicial es: t =t¢y los orígenes O y O¢coinciden.
2.º A las ecuaciones de transformación tenemos que exigirles que sean lineales (no cuadráticas
por ejemplo) ya que a un acontecimiento en S le tiene que corresponder un solo acontecimiento
en S¢(y no dos como ocurriría si fueran cuadráticas). Teniendo en cuenta lo anterior las ecuacio-
nes de transformación deben escribirse:
x = a x¢+a y¢+a z¢+a t¢
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y = a x¢+a y¢+a z¢+a t¢
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(3)
z = a x¢+a y¢+a z¢+a t¢
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
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t = a x¢+a y¢+a z¢+a t¢
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3.º Supongamos que el sistema S¢está animado de un movimiento de traslación uniforme
con velocidad V según el eje OX con relación a S (Fig. XXVII-3), teniendo en cuenta que cuales-
quiera que sean x¢, z¢y t¢se tendrá que verificar: y =0 Þ y¢=0
y que cualesquiera que sean x¢y¢y t¢, tendrá que verificarse: z =0 Þ z¢=0
obtenemos: a =a =a =a =a =a =0
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Por otra parte las ecuaciones en x y t tienen que ser independientes de y¢y z¢puesto que todos
los puntos de un plano perpendicular a OX son equivalentes, con lo que: a =a =a =a =0
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con estas condiciones las ecuaciones (3) quedan: x = a x¢+a t¢
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y = a y¢ (4)
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z = a z¢
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t = a x¢+a t¢
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4.º Las relaciones entre y e y¢así como entre z y z¢tienen que ser independientes de la veloci-
dad; con lo que si se invierten los papeles de los sistemas de referencia, (principio de relatividad), Fig. XXVII-3. El sistema S¢(X¢Y¢
Z¢) está animado de un movimiento
deben seguir siendo las mismas por razón de simetría, es decir: y¢=a y z¢=a z de traslación uniforme con velocidad
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®
V en la dirección del eje OX con re-
y = y¢ lación a S (X Y Z).
luego al compararlas con la 2ª y 3ª de las (4) nos queda: a 22 = a 33 = 1 Þ
z = z¢
5.º Un suceso que se realiza en S y en el plano YZ, es decir, en un punto en que x =0, y en
cualquier instante, con respecto a S¢se estará realizando en: x¢=V t¢
sustituyendo en la 1ª de las (4) nos quedará: 0 =a Vt¢+a t¢ Þ a =Va 11
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luego: x =a (x¢+Vt¢) (5)
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Invirtiendo el papel de los sistemas y puesto que la velocidad del sistema S con relación a S¢es
V en la dirección OX; se ha de cumplir:
x¢=a (x Vt) (6)
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6.º Pongamos ahora la condición de que una onda luminosa esférica abandona el origen
común en el tiempo inicial común t =t¢=0; aplicando el principio de la invariancia de la velocidad
de la luz c respecto de los sistemas de referencia y para cualquier instante posterior exige que se
cumpla:
2 2 2 2 2 2
x + y + z x¢ + y¢ + z¢
c = =
t t¢
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o lo que es lo mismo: x +y +z =c t 2 (7)
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x¢+y¢+z¢=c¢t¢ (8)
que nos indican que la ecuación del frente de onda es la misma en ambos sistemas; en particular
en OX y OX¢se tendrá:
x =ct x¢=ct¢
sustituyendo en (5) y (6) nos quedan: ct = a (ct¢+Vt¢) =a t¢(c +V ) Fig. XXVII-4. Onda esférica aban-
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ct¢=a (ct Vt ) =a t (c V ) donando el origen común en el tiem-
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multiplicándolas miembro a miembro y simplificando: po inicial t =t¢=0.
