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DILATACIÓN DE SÓLIDOS 303

a, b y g son los coeficientes de dilatación medios en el intervalo de t a t¢ºC.
En todo el estudio anterior hemos considerado que los coeficientes de dilatación son constan-
tes en el intervalo de 0º a tº. Como esto no ocurre normalmente, la expresión analítica del coefi-
ciente de dilatación lineal (y análogamente de los demás coeficientes) sería:

1 dL
a =
L 0 dt
siendo L la longitud inicial. En consecuencia:
0
dL =L adt Fig. XIV-7.– En la dilatación de su-
0
perficies homogéneas se cumple que
y para obtener la variación de longitud de 0º a tº, integraremos entre tales límites: son semejantes antes y después de su
zz t a dl Þ L - L = L z t a dt dilatación.
L t
L
dL =
L 0 0 0 t 0 0 0
Para realizar esta integración tenemos que conocer la forma de la función a =a(t). En el caso
de considerar constante el coeficiente en el intervalo considerado:
z t
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L
L
L - L = a 0 dt = a t Þ L = L 1( +a t)
t
0
t
0
0
0
obteniendo la misma fórmula que en el estudio elemental.
En el caso de grandes variaciones de temperatura en que a no lo podemos considerar cons-
tante, la resolución de la integral en estudio es:
2
3
L =L (1 +at +bt +ct +...)
0
t
en los que a, b, c, etc. son coeficientes característicos de la sustancia, que se determinan por un
número adecuado de observaciones experimentales.
XIV – 9. Relación entre los coeficientes de dilatación lineal, superficial y cúbica Fig. XIV-8.– Los volúmenes, seme-
jantes, son proporcionales a los cu-
Cualquier superficie homogénea cuando sufre una variación de temperatura pasando de cero bos de las dimensiones lineales
a t grados centígrados, si su valor después de la dilatación es S , será semejante a S , superficie a homólogas.
0
t
cero grados antes de la dilatación. Considerando que «las áreas de superficie semejantes son pro-
porcionales a los cuadrados de las dimensiones lineales homólogas», se obtiene:
S t L 2 t L 2 0 (1 + )ta 2 = +1 22 ; 1
S 0 = L 2 0 = L 2 0 2 ta + ta + 2 ta
ya que a t se escapa de los límites perceptibles, pues siendo a muy pequeño, su cuadro es mucho
2 2
menor. Por igualación de las dos expresiones de S se obtiene:
t
S 1( + b t) = S 1( + 2a t) Þ b = 2a
0
0
«El coeficiente de dilatación superficial, es prácticamente, el doble del lineal».
Verificando el mismo estudio para volúmenes V y V , antes y después de la dilatación, obte-
t
0
nemos:
V t L 3 t L 3 0 (1 + ta ) 3 =1 22 + t ; 1 3 a + t Þ V (1 g +)t V =(1 3 a)t g 3
33
t
V 0 = L 3 0 = L 3 0 +3 ta +3a a 0 0 + Þ = a
«El coeficiente de dilatación cúbica es, prácticamente, el triple del lineal».
PROBLEMAS:7 al 12.

XIV – 10. Variación de la densidad con la temperatura
Al calentar los cuerpos sólidos aumenta su volumen y disminuye su densidad, cumpliéndose:
«Las densidades son inversamente proporcionales a los binomios de dilatación cúbica».
Ello es debido a que la masa de un cuerpo es independiente de la temperatura y, por tanto, es
idéntica en frío que en caliente. Si r y r son las densidades a 0º y tº, la masa del cuerpo es:
t
0
M =V r =V r , sustituyendo V por su valor:
t
t
0
0
t
r 0
V r = V 1 +( t g r) t Þ r =
0
0
0
t
1 + t g